Question

【题目】如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B两点，点C为OB的中点，抛物线经过A，C两点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点D的坐标；

（3）点P为抛物线上一点，若是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（2，-3）；（3）或或.

【解析】

（1）由直线解析式求出A、B坐标，然后得出C点坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）过点D作DE⊥x轴，交直线AB于点E，设D（m，），利用S△ABD==得出方程，解出m值即可；

（3）分点A是直角顶点和点B是直角顶点，结合图像，表示出△ABP三边长度，利用勾股定理得出方程，求解即可.

解：（1）直线中，

令x=0，则y=10，令y=0，则x=5，

∴A（5，0），B（0，10），

∵点C是OB中点，

∴C（0，5），将A和C代入抛物线中，

，解得：，

∴抛物线表达式为：；

（2）联立：，

解得：或，

∴直线AB与抛物线交于点（-1，12）和（5，0），

∵点D是直线AB下方抛物线上的一点， 设D（m，），

∴-1＜m＜5，

过点D作DE⊥x轴，交直线AB于点E，

∴E（m，-2m+10），

∴DE==，

∴S△ABD===，

解得：m=2，

∴点D的坐标为（2，-3）；

（3）抛物线表达式为：，

∵△APB是以AB为直角边的直角三角形，

设点P（n，），∵A（5，0），B（0，10），

∴AP2=，BP2=，AB2=125，

当点A为直角顶点时，

BP2= AB2+ AP2，

解得：n=或5（舍），

当点B为直角顶点时，

AP2= AB2+ BP2，

解得：n=或，

而抛物线对称轴为直线x=3，

则3-=，-3=，3-=，

综上：点P到抛物线对称轴的距离为：或或.