Question

【题目】（理解新知）如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为，，，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线为的“二倍角线”．

（1）一个角的角平分线______这个角的“二倍角线”（填“是”或“不是”）

（2）若，射线为的“二倍角线”，则的大小是______；

（解决问题）如图②，己知，射线从出发，以/秒的速度绕点逆时针旋转；射线从出发，以/秒的速度绕点顺时针旋转，射线，同时出发，当其中一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为秒．

（3）当射线，旋转到同一条直线上时，求的值；

（4）若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边组成的角的“二倍角线”，直接写出所有可能的值______．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）或或；（3）或或；（4）或.

【解析】

（1）若OC为的角平分线，由角平分线的定义可得，由二倍角线的定义可知结论；

（2）根据二倍角线的定义分三种情况求出的大小即可.

（3）当射线，旋转到同一条直线上时，，即或，或OP和OQ重合时，即，用含t的式子表示出OP、OQ旋转的角度代入以上三种情况求解即可；

（4）结合“二倍角线”的定义，根据t的取值范围分，，，4种情况讨论即可.

解：（1）若OC为的角平分线，由角平分线的定义可得，由二倍角线的定义可知一个角的角平分线是这个角的“二倍角线”；

（2）当射线为的“二倍角线”时，有3种情况，

①，；

②，，，；

③，，，

综合上述，的大小为或或；

（3）当射线，旋转到同一条直线上时，有以下3种情况，

①如图

此时，即，解得；

②如图

此时点P和点Q重合，可得，即，解得；

③如图

此时，即，解得，

综合上述，或或；

（4）由题意运动停止时，所以，

①当时，如图，

此时OA为的“二倍角线”，，

即，解得；

②当时，如图，

此时，，所以不存在；

③当时，如图

此时OP为的“二倍角线”，，

即

解得 ；

④当时，如图，

此时，所以不存在；

综上所述，当或时，，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边组成的角的“二倍角线”.