题目内容

已知抛物线y=-
1
2
x2+bx+4上有不同的两点E（k+3，-k2+1）和F（-k-1，-k2+1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线y=-
1
2
x2+bx+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式；
（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F？
（1）抛物线y=-
1
2
x2+bx+4的对称轴为x=-
b
2×(-
1
2
)
=b；（1分）
∵抛物线上不同两个点E（k+3，-k2+1）和F（-k-1，-k2+1）的纵坐标相同，
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则b=
(k+3)+(-k-1)
2
=1，且k≠-2；
∴抛物线的解析式为y=-
1
2
x2+x+4；（2分）


（2）抛物线y=-
1
2
x2+x+4与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
∴AB=4
2
，AM=BM=2
2
；（3分）
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直线AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°；
∴∠BCM=∠AMD，
∴△BCM∽△AMD；（4分）
∴
BC
AM
=
BM
AD
，即
n
2
2
=
2
2
m
，n=
8
m
；
故n和m之间的函数关系式为n=
8
m
（m＞0）；（5分）

（3）∵F（-k-1，-k2+1）在y=-
1
2
x2+x+4上，
∴将F代入函数解析式得：-
1
2
(-k-1)2+(-k-1)+4=-k2+1，
化简得，k2-4k+3=0，∴k1=1，k2=3；
即F1（-2，0）或F2（-4，-8）；（6分）
①MF过M（2，2）和F1（-2，0），设MF为y=kx+b，
则
2k+b=2
-2k+b=0
，解得
k=
1
2
b=1
；
∴直线MF的解析式为y=
1
2
x+1；
直线MF与x轴交点为（-2，0），与y轴交点为（0，1）；
若MP过点F（-2，0），则n1=4-1=3，m1=
8
3
；
若MQ过点F（-2，0），则m2=4-（-2）=6，n2=
4
3
；（7分）
②MF过M（2，2）和F2（-4，-8），设MF为y=kx+b，
则
2k+b=2
-4k+b=-8
，解得
k=
5
3
b=-
4
3
；
∴直线MF的解析式为y=
5
3
x-
4
3
；
直线MF与x轴交点为（
4
5
，0），与y轴交点为（0，-
4
3
）；
若MP过点F（-4，-8），则n3=4-（-
4
3
）=
16
3
，m3=
3
2
；
若MQ过点F（-4，-8），则m4=4-
4
5
=
16
5
，n4=
5
2
；（8分）
故当
m1=
8
3
n1=3
，
m2=6
n2=
4
3
，
m3=
3
2
n3=
16
3
或
m4=
16
5
n4=
5
2
时，∠PMQ的边过点F．
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BC
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