Question

如图，已知△ABC与△ACD都是边长为2的等边三角形，如图有一个60°角的三角板绕着点A旋转分别交BC、CD于点P、Q两点（不与端点重合）．
（1）试说明：△PAQ是等边三角形；
（2）求四边形APCQ的面积；
（3）填空：当BP=______时，S_△APQ最小．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC与△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°，
∴∠BAP+∠CAP=60°，
又∵∠CAQ+∠CAP=60°，
∴∠BAP=∠CAQ，
∵在△ABP和△ACQ中，

∠BAP=∠CAQ AB=AC ∠B=∠ACD

，
∴△ABP≌△ACQ（ASA），
∴AP=AQ，
又∵∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等边三角形；

（2）∵△ABP≌△ACQ，
∴△ABP的面积=△ACQ的面积，
∴四边形APCQ的面积=△APC的面积+△ACQ的面积，
=△APC的面积+△ABP的面积，
=△ABC的面积，
=

1

2

×2×（2×

3

2

）=

3

；

（3）AP⊥BC时，AP最短，S_△APQ最小，
此时，BP=

1

2

BC=

1

2

×2=1．