题目内容
（2012•上海模拟）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是边BC、CD的中点，直线EF交边AD的延长线于点M，交边AB的延长线于点N，连接BD．（1）求证：四边形DBEM是平行四边形；
（2）连接CM，当四边形ABCM为平行四边形时，求证：MN=2DB．
分析：（1）首先根据三角形中位线定理可得EF∥BD，再有条件AD∥BC，可根据两边互相平行的四边形是平行四边形，可判定四边形DBEM是平行四边形；
（2）首先根据平行线分线段成比例定理可得
=
，再根据BE=CE，可得BN=CM，进而得到AB=BN，再由EF∥BD，可得
=
，进而得到MN=2DB．
（2）首先根据平行线分线段成比例定理可得
| BN |
| CM |
| BE |
| CE |
| DB |
| MN |
| AB |
| AN |
解答：证明：（1）∵点E、F分别是边BC、CD的中点，
∴EF∥BD，
又∵AD∥BC，
∴四边形DBEM是平行四边形；
（2）∵四边形ABCM为平行四边形，
∴AB=CM，AB∥CM，
∴
=
，
∵BE=CE，
∴BN=CM，
∴AB=BN，
∵EF∥BD，
∴
=
．
∴MN=2DB．
∴EF∥BD，
又∵AD∥BC，
∴四边形DBEM是平行四边形；
（2）∵四边形ABCM为平行四边形，
∴AB=CM，AB∥CM，
∴
| BN |
| CM |
| BE |
| CE |
∵BE=CE，
∴BN=CM，
∴AB=BN，
∵EF∥BD，
∴
| DB |
| MN |
| AB |
| AN |
∴MN=2DB．
点评：此题主要考查了三角形中位线定理，以及平行四边形的判定、平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理：
定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
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