Question

    已知抛物线：．点F(1，1)．

    (Ⅰ) 求抛物线的顶点坐标；

    (Ⅱ) ①若抛物线与y轴的交点为A．连接AF，并延长交抛物线于点B，求证：

    ②抛物线上任意一点P（）)（）．连接PF．并延长交抛物线于点Q（），试判断是否成立？请说明理由；

    (Ⅲ) 将抛物线作适当的平移．得抛物线：，若时．恒成立，求m的最大值．

Answer 1

解 (I)∵，

∴抛物线的顶点坐标为()．

(II)①根据题意，可得点A(0，1)，

∵F(1，1)．

∴AB∥x轴．得AF=BF=1，

②成立．

理由如下：

如图，过点P（）作PM⊥AB于点M，则FM=，PM=（）

∴Rt△PMF中，有勾股定理，得

又点P（）在抛物线上，

得，即

∴

即．

过点Q（）作QN⊥B，与AB的延长线交于点N，

同理可得．

图文∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，

∴△PMF∽△QNF

有

这里，

∴

即

  (Ⅲ) 令，

设其图象与抛物线交点的横坐标为，，且<，

∵抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的，

观察图象．随着抛物线向右不断平移，，的值不断增大，

∴当满足，．恒成立时，m的最大值在处取得。

可得当时．所对应的即为m的最大值．

于是，将带入，

有

解得或（舍）

∴

此时，，得

解得，

∴m的最大值为8.