Question

把下列各式分解因式

(1)(a－b)³－(a－b)²

(2)(x－y)⁴＋x(x－y)³－y(y－x)³

(3)2(a－3)²－a＋3

(4)(m－n)⁴＋m(m－n)³＋n(n－m)³

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(a－b)3－(a－b)2＝(a－b)2·(a－b)－(a－b)2·1 　　＝(a－b)2(a－b－1) 　　(2)(x－y)4＋x(x－y)3－y(y－x)3 　　＝(x－y)4＋x(x－y)3＋y(x－y)3 　　＝(x－y)3·(x－y)＋(x－y)3·x＋(x－y)3·y 　　＝(x－y)3(x－y＋x＋y) 　　＝2x(x－y)3 　　(3)2(a－3)2－a＋3＝2(a－3)2－(a－3) 　　＝(a－3)·[2(a－3)]－(a－3)·1 　　＝(a－3)(2a－7) 　　(4)(m－n)4＋m(m－n)3＋n(n－m)3 　　＝(m－n)4＋m(m－n)3－n(m－n)3 　　＝(m－n)3[(m－n)＋m－n] 　　＝(m－n)3(2m－2n) 　　＝2(m－n)3(m－n) 　　＝2(m－n)4 　　分析：(1)中(a－b)3－(a－b)2的公因式是(a－b)2． 　　(2)中因为(y－x)3＝－(x－y)3，所以(x－y)4＋x(x－y)3－y(y－x)3的公因式是(x－y)3 　　(3)中因为－a＋3＝－(a－3)，所以2(a－3)2－a＋3的公因式是a－3 　　(4)中因为(n－m)3＝－(m－n)3，所以(m－n)4＋m(m－n)3＋n(n－m)3的公因式是(m－n)3 　　注意：(1)本题在因式分解过程中用到了下列恒等变形 　　①a－b＝－(b－a) 　　②(a－b)3＝－(b－a)3 　　一般情况下n为偶数时，(a－b)n＝(b－a)n 　　n为奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n 　　(2)分解因式的结果中如果有相同因式，应将相同因式写成幂的形式如(4)小题中2(m－n)3·(m－n)写成2(m－n)4 　　(3)一般地如果因式分解的结果既有单项式又有多项式时，应将单项式因式写在多项式因式的前面，如(3)小题 　　(4)因式分解的结果中不可以保留两种或两种以上的括号，所以在提取公因式后要注意去括号化简，如(3)、(4)小题