题目内容
【题目】如图，在梯形
中，
，
，
，
是
的中点，点
以每秒1个单位长度的速度从点
出发，沿
向点
运动；点
同时以每秒3个单位长度的速度从点
出发，沿
向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动．
（1）当运动时间
为多少秒时，
；
（2）当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形；
（3）
，
，求
的面积关于运动时间的函数关系和自变量
的取值范围．
【答案】（1）当运动时间
为1.5秒时，
；（2）当运动时间为1秒或3.5秒时，以点
，
，
，
为顶点的四边形是平行四边形；（3）
【解析】
（1）根据、
可判定四边形
为平行四边形，此时
，可得方程
，解方程即可得解；
（2）分别从当在
上时，四边形
为平行四边形和当在
上时，四边形
为平行四边形两方面分析求解即可求得答案；
（3）分别从当在线段上时、当与重合时、当在线段上时、当在线段
上时四方面进行讨论，从而确定
的面积关于运动时间的函数关系和自变量
的取值范围．
解：（1）如图示，
∵，
∴四边形为平行四边形
∴
又∵
，
∴
．
当运动时间为1.5秒时，．
（2）由题意知，此时有两种情况，在上或在上，
①当在上时，四边形为平行四边形
此时
，
又∵
，
∴
∴
∴
满足题意
②当在上时，四边形为平行四边形
此时．
又∵，
∴
∴
∴
满足题意；
当运动时间为1秒或3.5秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
（3）如图，过点
作，
交
于点
，连接
，
．
∵
，
∴
∴
．
∴
①如图（1），
当在线段上时，
．
此时
，
，即：
．
②当与重合时，
，此时
不存在；
③当在线段上时，如图（2）
此时
，且
即：
④当在线段上时，如图（3），联结
，过作
，交
于点
此时
，且，即：
．
梯形
又∵
∴
∴
∴
．
∴
综上所述，的面积关于运动时间的函数关系及自变量的取值范围为
故答案是：（1）当运动时间为1.5秒时，；（2）当运动时间为1秒或3.5秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形；（3）．
