Question

【题目】已知直线AB∥CD．

（1）如图1，请直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　 　；

（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则=___.

Answer 1

【答案】（1）∠E=∠END-∠BME；（2）∠E+2∠NPM=180°，证明见解析；（3）．

【解析】

（1）由AB∥CD，即可得到∠END=∠EFB，再根据∠EFB是△MEF的外角，即可得出∠E=∠EFB-∠BME=∠END-∠BME；
（2）由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，再根据三角形内角和定理，即可得到∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，即可得到∠E+2∠NPM=180°；
（3）延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠E=∠ABE-∠AGE=∠ABE-∠CDE；依据∠CHB是△DFH的外角，即可得到∠F=∠CHB-∠FDH=∠ABE-∠CDE=（∠ABE-∠CDE），进而得出∠F=∠E．

解：（1）如图1，∵AB∥CD，

∴∠END=∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，
∴∠E=∠EFB-∠BME=∠END-∠BME，
故答案为：∠E=∠END-∠BME；
（2）如图2，∵AB∥CD，
∴∠CNP=∠NGB，

∵∠NPM是△GPM的外角，
∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，NP平分∠CNE，
∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，
∵AB∥CD，
∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，
∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，
即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，
∴∠E+2∠NPM=180°；
（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，
∵AB∥CD，
∴∠CDG=∠AGE，
∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E=∠ABE-∠AGE=∠ABE-∠CDE，①

∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，
∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F=∠CHB-∠FDH=∠ABE-∠CDE=（∠ABE-∠CDE），②
由①代入②，可得∠F=∠E，
即＝．
故答案为：．