Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，M是BC的中点，延长AM到点D，AE＝AD，∠EAD＝90°，CE交AB于点F，CD＝DF．

（1）∠CAD＝______度；

（2）求∠CDF的度数；

（3）用等式表示线段CD和CE之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）45;（2）90°;（3）见解析.

【解析】

（1）根据等腰三角形三线合一可得结论；

（2）连接DB，先证明△BAD≌△CAD，得BD＝CD＝DF，则∠DBA＝∠DFB＝∠DCA，根据四边形内角和与平角的定义可得∠BAC+∠CDF＝180°，所以∠CDF＝90°；

（3）证明△EAF≌△DAF，得DF＝EF，由②可知，可得结论．

（1）解：∵AB＝AC，M是BC的中点，

∴AM⊥BC，∠BAD＝∠CAD，

∵∠BAC＝90°，

∴∠CAD＝45°，

故答案为：45

（2）解：如图，连接DB．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，M是BC的中点，

∴∠BAD＝∠CAD＝45°．

∴△BAD≌△CAD．

∴∠DBA＝∠DCA，BD＝CD．

∵CD＝DF，

∴BD＝DF．

∴∠DBA＝∠DFB＝∠DCA．

∵∠DFB＋∠DFA＝180°，

∴∠DCA＋∠DFA＝180°．

∴∠BAC＋∠CDF＝180°．

∴∠CDF＝90°．

（3）．

证明：∵∠EAD＝90°，

∴∠EAF＝∠DAF＝45°．

∵AD＝AE，

∴△EAF≌△DAF．

∴DF＝EF．

由②可知，．

∴．