Question

（2013•秀洲区二模）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC边上一点，作∠BPE=

1

2

∠BCA，交AB于点E，过点B作BD⊥PE，垂足为D，交CA的延长线于点F．
（1）当点P与点C重合时（如图①）．求证：△ABF≌△APE；
（2）通过观察、测量、猜想：

BD

PE

=

1

2

，并结合图②证明你的猜想；
（3）若把条件“AB=AC”改为AB=mAC，其他条件不变（如图③），求

BD

PE

的值．（用含m的式子表示）

Answer 1

分析：（1）根据∠BAC=90°，BD⊥PE，可知∠APE=∠FBA，根据ASA定理即可得出结论；
（2）过P作PQ∥CA交AB于G，交BF于Q，根据∠BPE=

1

2

∠BCA可知∠BPE=

1

2

∠BCA=

1

2

∠BPQ，再根据BD⊥PE，可得△BPQ是等腰三角形，所以BD=

1

2

BQ，由全等三角形的判定定理可知△BGQ≌△PGE，所以PE=BQ，故可得出结论；
（3）同（2）可得△BGQ∽△PGE，所以

BQ

PE

=

BG

PG

=

AB

AC

=m，再由BD=

1

2

BQ即可得出结论．

解答：（1）证明：∵∠BAC=90°，BD⊥PE
∴∠APE=∠FBA
∵在Rt△ABF与Rt△APE中，

∠BAC=∠BAF AB=AC ∠APE=∠FBA

∴△ABF≌△APE（ASA）；

（2）解：

BD

PE

=

1

2

．理由如下：
过P作PQ∥CA交AB于G，交BF于Q．
∵∠BPE=

1

2

∠BCA，
∴∠BPE=

1

2

∠BCA=

1

2

∠BPQ，
∵BD⊥PE，
∴△BPQ是等腰三角形，
∴BD=

1

2

BQ，
∵PQ∥AC，BA⊥AC，
∴BA⊥PQ，
∵AB=AC，
∴PG=BG，
∵∠DBE+∠DEB=90°，∠DEB=∠GEP，∠GEP+∠GPE=90°，
∴∠DBE=∠GPE，
∵在△BGQ与△PGE中，

∠PGE=∠BGQ PG=BG ∠GPE=∠DBE

，
∴△BGQ≌△PGE（ASA），
∴PE=BQ，
∴

BD

PE

=

1

2

．
故答案为：

1

2

；

（3）解：∵同（2）可得△BGQ∽△PGE，
∴

BQ

PE

=

BG

PG

=

AB

AC

=m，
∵BD=

1

2

BQ，
∴

BD

PE

=

1

2

m．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质等知识，难度适中．