Question

如图等腰Rt△ABC中AB=AC，D为斜边BC上的动点，若BD=nCD，BF⊥AD交AD于E、AC于F．
（1）如图1，若n=3时，则

AF

AC

=

 

；
（2）如图2，若n=2时，求证：DE=

2

3

AE；
（3）当n=

 

时，AE=2DE．

Answer 1

分析：（1）过C作CG⊥AC交AD的延长线与G点，由题意可证明△ABD∽△GCD，

CG

AC

= 

1

3

，tan∠EAF=

1

3

，即可证明AF：AC=1：3；
（2）过D作DG∥BF交AC与F点，CD：DB=1：2，CG：GF=1：2，由第一问知AF：AC=CD：BD=1：2，所以，AF：FC=1：1，即可证明DE：AE=2：3；
（3）过D作DG∥BF交AC与F点，设CG=k，则：GF=nk，再由第二问的解题方法可求得n的值．

解答：解：（1）过C作CG⊥AC交AD的延长线于G点，如图1所示：
∵CG⊥AC，
∴CG∥AB．
∴△ABD∽△GCD．
∴

CG

AB

= 

CD

BD

= 

1

3

．
∵AB=AC，
∴

CG

AC

= 

1

3

．
∴tan∠EAF=

1

3

．
∴

EF

AE

= 

1

3

．
∵在Rt△ABF中，△AEF∽△BAF，
∴

EF

AE

= 

AF

AB

=

AF

AC

=

1

3

．
∴

AF

AC

=

1

3

．

（2）过D作DG∥BF交AC于G点，如图2所示：
∵CD：DB=1：2，
∴CG：GF=1：2．
∵由第一问知AF：AC=CD：BD=1：2，
∴AF：FC=1：1．
∴AF：FG=3：2．
∴AE：ED=3：2．
∴DE=

2

3

AE．

（3）过D作DG∥BF交AC于G点，如图3所示：
CD：BD=AF：AC=1：n，
CG：GF=1：n，
设CG=k，则：
GF=nk，
∵AE=2DE，
∴AF=2FG．
∴AF=2nk．
∴AC=3nk+k．
∵AC=nAF，
∴3nk+k=2n²k．
∴n=

3+  17

4

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．