题目内容

已知：如图矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，两只蚂蚁P和Q同时分别从A、B出发，沿AB、BC向B、C方向前进，P蚁每秒钟走1cm，Q蚁的速度是P蚁速度的2倍，结果同时到达点B和点C．

(1)

都爬行4秒钟后，两蚂蚁的最短距离PQ长多少厘米？

(2)

两蚂蚁同时出发t秒钟后，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、B、D为顶点的三角形相似，求t的值．

(3)

是否存在这样的t(秒)值，使PQ∥AC？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

(4)

如果P蚁、Q蚁继续沿BC→CD→DA方向走，是否存在这样的t(秒)值，使PQ∥AB？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

答案：
解析：

(1)

由题意，可知每秒爬行2cm．爬到4s后，PB=6cm，BQ=8cm．∴PQ=10cm．

(2)

若△PBQ∽△DAB，则有．PB=10－t，BQ=2t，代入比例式，得t=2(s)．若△PBQ∽△BAD，则有，可得t=5(s)．

(3)

要使PQ∥AC，必须有，可得t=5(s)．

(4)

只要PB=QA，则PQ∥AB．即．设PB=x，则DQ=PC=20－x．代入方程，解得x=10．∴t=20(s)．


练习册系列答案
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21、已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
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（2）M为线段CQ上一点，若以x轴为旋转轴，旋转△PAM一周形成的旋转体的全面积为5
3
π，求线段AM的长；
（3）N为线段AM上一动点（与点A、M不重合），过点N分别作NH精英家教网⊥x轴于H，NG⊥y轴于G．求当矩形OHNG的面积最大时N点的坐标．
6、已知：如图，△ABC中，AB=AC，矩形BCDE的边DE分别与AB、AC交于点F、G．求证：EF=DG．
阅读理解题：
已知：如图，△ABC中，AB=AC，P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
求证：CD=PE+PF．
在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下：
小明的思路方法是：过点P作PG⊥CD于G（如图1），则可证得四边形PEDG是矩形，也可证得△PCG≌△CPF，从而得到PE=DG，PF=CG，因此得CD=PE+PF．
小颖的思路方法是：连接PA（如图2），则S△ABC=S△PAB+S△PAC，再由三角形的面积公式便可证得CD=PE+PF．
由此得到结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
阅读上面的材料，然后解答下面的问题：
（1）针对小明或小颖的思路方法，请选择俩人中的一种方法把证明过程补充完整
（2）如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=AD=CD=2，E是BC上任意一点，EM⊥BD于M，EN⊥AC于N，试利用上述结论
求EM+EN的值．
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已知：如图，△ABC中，O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）写出当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形；
（3）当点O运动到问题（2）中的位置时，证明四边形AECF是矩形．

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