Question

已知：如图，△ABC中，O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）写出当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形；
（3）当点O运动到问题（2）中的位置时，证明四边形AECF是矩形．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线定义得出∠2=∠3，∠4=∠5，根据平行线性质得出∠1=∠3，∠6=∠5，推出∠1=∠2，∠6=∠4，推出EO=OC，FO=OC，即可得出答案；
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；
（3）根据平行四边形判定推出四边形是平行四边形，求出∠ECF=90°，根据矩形的判定推出即可．

解答：（1）证明：∵CE是∠ACB的角平分线，CF是∠ACQ的角平分线，
∴∠2=∠3，∠4=∠5，
∵NM∥BC，
∴∠1=∠3，∠6=∠5，
∴∠1=∠2，∠6=∠4，
∴EO=OC，FO=OC，
∴EO=FO；
（2）解：如图2，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，

（3）证明：如图2，AO=OC，EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠2=∠3，∠4=∠5，∠2+∠3+∠4+∠5=180°，
∴∠3+∠4=90°，
即∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．

点评：本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，角平分线定义，平行线的性质等知识点的综合运用．