Question

已知：如图所示，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．
求证：（1）PO平分∠BPD；
（2）PA=PC；
（3）

AE

=

EC

．

Answer 1

分析：（1）OG⊥CD于G，过O作OF⊥AB于F，连接OA、OC，求出AF=CG，根据勾股定理得出OF=OG，所以PO平分∠BPD；
（2）直接利用（1）中求得的结论可知PF=PG，所以AF=

AB

2

，CG=

CD

2

所以AF=CG，即PA=PC；
（3）利用等弧之间的减法计算即可得到

AE

=

CE

．

解答：证明：（1）OG⊥CD于G，过O作OF⊥AB于F，
∵AB=CD，
∴由垂径定理得：AF=

1

2

AB，CG=

1

2

CD，
∴AF=CG，
∵OA=OC，
由勾股定理得：OF=OG，
∵OF⊥AB于F，OG⊥CD，
∴PO平分∠BPD．（1分）

（2）∵PO平分∠BPD，
∴∠1=∠2．
∵OF⊥PB，OG⊥PD，
∴∠3=∠4．
∴PF=PG．（1分）
∵AB=CD，
∴AF=

AB

2

，CG=

CD

2

．（1分）
∴AF=CG．（1分）
∴PA=PC．（1分）

（3）∵AB=CD，
∴

AB

=

CD

．（1分）
∵OF⊥PB，OG⊥PD，
∴

AM

=

1

2

AB

，

CN

=

1

2

CD

．
∴

AM

=

CN

．（1分）
∵∠3=∠4，
∴

ME

=

NE

．（1分）
∴

AE

=

CE

．（1分）

点评：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力，掌握同圆或等圆中圆心角、弧、圆周角之间的关系是解题的关键．