Question

已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B₁在y轴上，点C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃在x轴上．若正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃，则点A₃到x轴的距离是

3 +1

6

．

Answer 1

分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠B₃C₃O=∠B₂C₂O=∠B₁C₁O=60°，然后解直角三角形求出OC₁、C₁E、E₁E₂、E₂C₂、C₂E₃、E₃E₄、E₄C₃，再求出B₃C₃，过点A₃延长正方形的边交x轴于M，过点A₃作A₃N⊥x轴于N，先求出A₃M，再解直角三角形求出A₃N，得出点A₃到x轴的距离．

解答：解：如图，∵B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃，
∴∠B₃C₃O=∠B₂C₂O=∠B₁C₁O=60°，
∵正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，
∴OC₁=

1

2

×1=

1

2

，
C₁E=

3

2

×1=

3

2

，
E₁E₂=

1

2

×1=

1

2

，
E₂C₂=

1

2

×

3

3

=

3

6

，
C₂E₃=E₂B₂=

1

2

，
E₃E₄=

1

2

×

3

3

=

3

6

，
E₄C₃=

3

6

×

3

3

=

1

6

，
∴B₃C₃=2E₄C₃=2×

1

6

=

1

3

，
过点A₃延长正方形的边交x轴于M，过点A₃作A₃N⊥x轴于N，
则A₃M=

1

3

+

1

3

×

3

3

=

3+ 3

9

，
A₃N=

3+ 3

9

×

3

2

=

1+ 3

6

，
∴点A₃到x轴的距离是：

3 +1

6

．
故答案为：

3 +1

6

．

点评：此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识，得出正方形各边长是解题关键．