如图.在菱形ABCD中.对角线AC.BD相交于点E.∠BAD=135°.作AH⊥BC.点H为垂足.AH交BD于点F.G是AB中点.连接GE交AH于点M.给出下列结论:①△AEG是等腰三角形,②ME=$\frac{1}{4}$BC,③FH=HC,④AE2=EF•EB,⑤AF•BH=FH•BC.其中结论正确的个数是( )A．2个B．3个C．4� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．

如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAD=135°，作AH⊥BC，点H为垂足，AH交BD于点F，G是AB中点，连接GE交AH于点M，给出下列结论：①△AEG是等腰三角形；②ME=$\frac{1}{4}$BC；③FH=HC；④AE²=EF•EB；⑤AF•BH=FH•BC，其中结论正确的个数是（　　）

A．

2个

B．

3个

C．

4个

D．

5个

分析 ①根据中点的定义以及三角形中位线定理，可得AG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC=GE；②根据AG＞AE，AM⊥GE，可得ME＜$\frac{1}{2}$GE，进而得出ME＜$\frac{1}{4}$BC；③根据菱形的性质，判定△BHF≌△AHC（ASA），即可得到FH=HC；④根据两角对应相等可判定△AEF∽△BEA，得出$\frac{FE}{AE}$=$\frac{AE}{BE}$，进而得到AE²=EF•EB；⑤根据AD∥BH，得出△ADF∽△HBF，进而得到$\frac{AF}{HF}$=$\frac{AD}{HB}$，即AF•BH=FH•AD，再根据AD=BC，得到AF•BH=FH•BC即可．

解答解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，
∴E是AC的中点，
又∵G是AB中点，
∴GE是△ABC的中位线，AG=$\frac{1}{2}$AB，
∴GE=$\frac{1}{2}$BC，GE∥BC，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC=GE，即△AEG是等腰三角形，故①正确；

∵菱形ABCD中，∠BAD=135°，
∴∠DAC=67.5°=∠ACB，∠ABC=45°，
∵GE∥BC，
∴∠AGE=45°，∠AEG=67.5°，
又∵AH⊥BC，
∴AH⊥GE，
∴ME＜$\frac{1}{2}$GE=$\frac{1}{4}$BC，故②错误；

∵AH⊥BH，∠ABH=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，∠BHF=∠AHC=90°，
∴AH=BH，
∵∠BHF=∠AEF=90°，∠BFH=∠AFE，
∴∠HBF=∠HAC，
∴△BHF≌△AHC（ASA），
∴FH=HC，故③正确；

∵菱形ABCD中，∠ABE=∠CBE，而∠HBF=∠HAC，
∴∠ABE=∠FAE，
又∵∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
∴$\frac{FE}{AE}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴AE²=EF•EB，故④正确；

∵AD∥BH，
∴△ADF∽△HBF，
∴$\frac{AF}{HF}$=$\frac{AD}{HB}$，
∴AF•BH=FH•AD，
又∵AD=BC，
AF•BH=FH•BC，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有4个，
故选：C．

点评本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的定理的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及相似三角形的判定方法，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

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