题目内容
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如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAD=135°，作AH⊥BC，点H为垂足，AH交BD于点F，G是AB中点，连接GE交AH于点M，给出下列结论：①△AEG是等腰三角形；②ME=$\frac{1}{4}$BC；③FH=HC；④AE2=EF•EB；⑤AF•BH=FH•BC，其中结论正确的个数是（ ）| A． | 2个 | B． | 3个 | C． | 4个 | D． | 5个 |
分析 ①根据中点的定义以及三角形中位线定理，可得AG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC=GE；②根据AG＞AE，AM⊥GE，可得ME＜$\frac{1}{2}$GE，进而得出ME＜$\frac{1}{4}$BC；③根据菱形的性质，判定△BHF≌△AHC（ASA），即可得到FH=HC；④根据两角对应相等可判定△AEF∽△BEA，得出$\frac{FE}{AE}$=$\frac{AE}{BE}$，进而得到AE2=EF•EB；⑤根据AD∥BH，得出△ADF∽△HBF，进而得到$\frac{AF}{HF}$=$\frac{AD}{HB}$，即AF•BH=FH•AD，再根据AD=BC，得到AF•BH=FH•BC即可．
解答 解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，
∴E是AC的中点，
又∵G是AB中点，
∴GE是△ABC的中位线，AG=$\frac{1}{2}$AB，
∴GE=$\frac{1}{2}$BC，GE∥BC，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC=GE，即△AEG是等腰三角形，故①正确；
∵菱形ABCD中，∠BAD=135°，
∴∠DAC=67.5°=∠ACB，∠ABC=45°，
∵GE∥BC，
∴∠AGE=45°，∠AEG=67.5°，
又∵AH⊥BC，
∴AH⊥GE，
∴ME＜$\frac{1}{2}$GE=$\frac{1}{4}$BC，故②错误；
∵AH⊥BH，∠ABH=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，∠BHF=∠AHC=90°，
∴AH=BH，
∵∠BHF=∠AEF=90°，∠BFH=∠AFE，
∴∠HBF=∠HAC，
∴△BHF≌△AHC（ASA），
∴FH=HC，故③正确；
∵菱形ABCD中，∠ABE=∠CBE，而∠HBF=∠HAC，
∴∠ABE=∠FAE，
又∵∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
∴$\frac{FE}{AE}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴AE2=EF•EB，故④正确；
∵AD∥BH，
∴△ADF∽△HBF，
∴$\frac{AF}{HF}$=$\frac{AD}{HB}$，
∴AF•BH=FH•AD，
又∵AD=BC，
AF•BH=FH•BC，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有4个，
故选：C．
点评 本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的定理的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及相似三角形的判定方法，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，△ABC的周长为23，ABD的周长为15，则EC的长是（ ）
如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（-1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是（ ）| A． | （50，51） | B． | （49，50） | C． | （51，50） | D． | （50，49） |
| A． | 5 | B． | 8 | C． | 7 | D． | 5或8 |
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 2或-1 | D． | 2或-2 |
| A． | 5% | B． | 10% | C． | 19% | D． | 20% |
| A． | 前面带有“+”号的数一定是正数 | B． | 前面带“-”号的数一定是负数 | ||
| C． | 上升5米，再下降3米，实际上升2米 | D． | 一个数不是正数就是负数 |
如图，三角形DEF是三角形ABC沿射线BC平移的得到的，BE=2，DE与AC交于点G，且满足DG=2GE．若三角形CEG的面积为1，CE=1，则点G到AD的距离为4．