Question

已知a、b、c为实数，且多项式x³+ax²+bx+c能被x²+3x-4整除，则2a-2b-c=________．

Answer 1

14
分析：由于x²+3x-4=（x+4）（x-1），而多项式x³+ax²+bx+c能被x²+3x-4整除，则x³+ax²+bx+c能被（x+4）（x-1）整除，即-4，1是方程x³+ax²+bx+c=0的两根，把x=-4和x=1分别代入x³+ax²+bx+c=0，得到关于a、b、c的三元一次方程组，将此方程组变形，即可得到2a-2b-c的值．
解答：∵x²+3x-4=（x+4）（x-1），
∴x³+ax²+bx+c能被（x+4）（x-1）整除，
即-4，1是方程x³+ax²+bx+c=0的两根．
把x=-4和x=1分别代入x³+ax²+bx+c=0，得，
①-②×6，得10a-10b-5c=70，
两边除以5，得2a-2b-c=14．
故答案为14．
点评：本题主要考查了整式乘除法与因式分解的关系及求代数式的值的方法，属于竞赛题型，有一定难度．本题的关键是能够通过整式乘除法与因式分解的关系得出x³+ax²+bx+c含有因式（x+4）（x-1），从而可知-4，1是方程x³+ax²+bx+c=0的两根．难点是列出方程组之后将其变形，从而求出2a-2b-c的值．