题目内容
（2008•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：
（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′（2，0）的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（-2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′______、C′______；
归纳与发现：
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为______（不必证明）；
运用与拓广：
（3）已知两点D（1，-3）、E（-1，-4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．
【答案】分析：易找到点B关于第一、三象限角平分线的对称点B′的坐标为（3，5），再结合已知的点A的坐标，我们不难猜想点C′坐标是（5，-2），然后找到点C′，可以发现CC′被第一、三象限角平分线垂直且平分，由此可以推想到坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（b，a），即它们纵、横坐标互换位置．
解答：
解：（1）如图：B′（3，5），C′（5，-2）；
（2）（b，a）；
（3）由（2）得，D（1，-3）关于直线l的对称点D′的坐标为（-3，1），连接D′E交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小．
设过D′（-3，1）、E（-1，-4）直线的解析式
为y=kx+b，则
∴
∴y=-
x-
由
得
∴所求Q点的坐标为（
，
）．
点评：本题的解答经历了实验--猜想--验证--推广的思维过程，这也是我们认识事物规律的一般方法，主要考查一次函数的性质和图象，中等难度．
解答：
解：（1）如图：B′（3，5），C′（5，-2）；（2）（b，a）；
（3）由（2）得，D（1，-3）关于直线l的对称点D′的坐标为（-3，1），连接D′E交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小．
设过D′（-3，1）、E（-1，-4）直线的解析式
为y=kx+b，则
∴
∴y=-
x-
由
得
∴所求Q点的坐标为（
，
）．点评：本题的解答经历了实验--猜想--验证--推广的思维过程，这也是我们认识事物规律的一般方法，主要考查一次函数的性质和图象，中等难度．
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