题目内容
【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为4cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：
（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？
（2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？
【答案】（1）
s或
s；（2）t＝1或3或
或
秒
【解析】
（1）①当PQ⊥AB时，△PQE是直角三角形．证明△PQE∽△ACB，将PE、QE用时间t表示，由三角形对应线段成比例的性质即可求出t值；②当PQ⊥DE时，证明△PQE∽△DAE，将PE、QE用时间t表示，利用三角形对应线段成比例的性质即可求出t值；
（2）分三种情形讨论，①当点Q在线段BE上时，EP＝EQ；②当点Q在线段AE上时，EQ＝EP；③当点Q在线段AE上时，EQ＝QP；④当点Q在线段AE上时，PQ＝EP，分别列出方程即可解决问题．
解：（1）在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝16cm，
∴AB＝
＝20cm．
∵D、E分别是AC、AB的中点．
∴AD＝DC＝6cm，AE＝EB＝10cm，DE∥BC且DE＝
BC＝8cm，
①如图1中，PQ⊥AB时，
∵∠PQB＝∠ADE＝90°，∠AED＝∠PEQ，
∴△PQE∽△ADE，
∴
，
由题意得：PE＝8﹣2t，QE＝4t﹣10，
即 
，
解得t＝；
②如图2中，当PQ⊥DE时，△PQE∽△DAE，
∴
，
∴
，
∴t＝，
∴当t为s或s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似．
（2）①如图3中，当点Q在线段BE上时，由EP＝EQ，可得8﹣2t＝10﹣4t，t＝1．
②如图4中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝EP，可得8﹣2t＝4t﹣10，解得t＝3．
③如图5中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝QP，可得 （8﹣2t）：（4t﹣10）＝4：5，解得t＝．
④如图6中，当点Q在线段AE上时，由PQ＝EP，可得 （4t﹣10）：（8﹣2t）＝4：5，解得t＝．
综上所述，t＝1或3或 或 秒时，△PQE是等腰三角形．
