Question

如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，
（1）如图①，求证：BE=DC；
（2）如图②，若H，G分别为DC，BE的中点，连接AG、HG，试探究∠AGH的大小；
（3）如图③，设BE，DC交于点P，求式子

PB+PC+2PA

PD+PE

的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证AB=AD，AC=AE，∠CAD=∠EAB，即可证明△CAD≌△EAB，可得BE=DC；
（2）连接AH，易证∠AEB=∠ACD，CH=EG，即可证明△AEG≌△ACH，可得AG=AH，∠EAG=∠CAH，即可求得∠GAH=∠EAC=60°，即可判定△AGH为等边三角形，即可解题；
（3）在DC上截取DG=BP，连接AG，易证△CAD≌△EAB，可得∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，即可证明△ADG≌△ABP，可得∠DAG=∠BAP，AG=AP，即可求得PA=PG，即可证明△CAG≌△EAP，可得CG=PE，即可解题．

解答：证明：（1）∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中，

AB=AD ∠CAD=∠EAB AC=AE

，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=DC；
（2）连接AH，

∵△CAD≌△EAB，
∴BE=DC，∠AEB=∠ACD，
∵H，G分别为DC，BE的中点，
∴CH=EG，
在△AEG和△ACH中，

AE=AC ∠AEB=∠ACD CH=EG

，
∴△AEG≌△ACH（SAS），
∴AG=AH，∠EAG=∠CAH，
∵∠EAG=∠EAC+∠CAG，∠CAH=∠CAG+∠GAH，
∴∠GAH=∠EAC=60°，
∴△AGH为等边三角形，
∴∠AGH=60°；
（3）在DC上截取DG=BP，连接AG，

∵△ABD、△AEC等边三角形，
∴∠BAD=∠CAE=60°，AC=AE，AD=AB，
∴∠BAD+∠BAC=∠BAC+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，
在△CAD和△EAB中，

AE=AC ∠BAE=∠CAD AD=AB

，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，
在△ADG和△ABP中，

AD=AB ∠ADC=∠ABE DG=BP

，
∴△ADG≌△ABP（SAS），
∴∠DAG=∠BAP，AG=AP，
∵∠DAG+∠BAG=60°，
∴∠BAG+∠BAP=60°，即∠PAG=60°，
∴△PAG为等边三角形，∠PAG+∠CAP=∠CAP+∠CAE，即∠CAG=∠EAP，
∴PA=PG，
在△CAG和△EAP中，

AG=AP ∠CAG=∠EAP AC=AE

，
∴△CAG≌△EAP（SAS），
∴CG=PE，
∴PD+PE=DG+PG+PC+PG=PB+PC+2PA，
∴

PB+PC+2PA

PD+PE

=1．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△CAD≌△EAB、△ADG≌△ABP和△CAG≌△EAP是解题的关键．