Question

已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，点M是CE的中点，连接BM．

(1)如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为________；

(2)如图②，点D不在AB上，(1)中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)BD＝BM．　2分 　　(2)结论成立． 　　证明：连接DM，过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF， 　　可证得△MDE≌△MFC．　3分 　　∴DM＝FM，DE＝FC． 　　∴AD＝ED＝FC． 　　作AN⊥EC于点N． 　　由已知∠ADE＝90°，∠ABC＝90°， 　　可证得∠1＝∠2，∠3＝∠4．　4分 　　∵CF∥ED，∴∠1＝∠FCM． 　　∴∠BCF＝∠4＋∠FCM＝∠3＋∠1＝∠3＋∠2＝∠BAD． 　　∴△BCF≌△BAD．　5分 　　∴BF＝BD，∠5＝∠6． 　　∴∠DBF＝∠5＋∠ABF＝∠6＋∠ABF＝∠ABC＝90°． 　　∴△DBF是等腰直角三角形．　6分 　　∵点M是DF的中点， 　　则△BMD是等腰直角三角形． 　　∴BD＝BM．　7分 　　(说明：以上答案仅供参考，若有不同解法，只要过程和解法都正确，可相应给分．)