Question

如图，⊙O中，弦AB⊥CD于点E．若AC=BD，ON⊥BD于N，OM⊥AC于M，
（1）求证：ME∥ON；
（2）求证：四边形OMEN为菱形．

Answer 1

分析：（1）首先延长ME交BD于点F，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，易得FM⊥BD，则可得ME∥ON；
（2）由（1），易证得四边形OMEN为平行四边形，EM=EN，即可证得四边形OMEN为菱形．

解答：证明：（1）延长ME交BD于点F，
∵OM⊥AC，
∴AM=AM，
∵弦AB⊥CD，
∴在Rt△ACE中，EM=AM=

1

2

AC，
∴∠A=∠AEM，
∵∠AEM=∠BEF，∠B=∠C，
∴∠B+∠BEF=∠A+∠C=90°，
即FM⊥BD，
∵ON⊥BD，
∴ME∥ON；

（2）同（1）可得：EN∥OM，
∵ME∥ON，
∴四边形OMEN为平行四边形，
∵EM=

1

2

AC，
同理，EN=

1

2

BD，
∵AC=BD，
∴EM=EN，
∴四边形OMEN为菱形．

点评：此题考查了垂径定理、平行线的判定以及菱形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．