Question

如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象l是第一、三象限的角平分线．
实验与探究：
由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A'的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（-2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出它们的坐标：B′

（3，5）

、C′

（5，-2）

；
归纳与发现：
结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（m，n）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为

（n，m）

；
运用与拓广：
已知两点D（0，-3）、E（-1，-4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

Answer 1

分析：（1）根据对称轴为第一、三象限的角平分线，结合图形得出B′、C′两点坐标；
（2）由（1）的结论，并与B、C两点坐标进行比较，得出一般规律；
（3）由轴对称性作出满足条件的Q点，求出直线D′E的解析式，与直线y=x联立，可求Q点的坐标，得出结论．

解答：解：（1）如图，由点关于直线y=x轴对称可知，B'（3，5），C'（5，-2）…（2分）

（2）由（1）的结果可知，
坐标平面内任一点P（m，n）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为 （n，m） 　  …（3分）

（3）由（2）得，D（0，-3）关于直线l的对称点D'的坐标为（-3，0），连接D'E交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小  
设过D'（-3，0）、E（-1，-4）的设直线的解析式为y=kx+b，
则

-3k+b=0 -k+b=-4

∴

k=-2 b=-6

∴y=-2x-6．
由

y=-2x-6 y=x

得

x=-2 y=-2

，
∴所求Q点的坐标为（-2，-2）…（9分）

点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是由轴对称的知识，结合图形，得出关于直线y=x轴对称的两点坐标关系．