Question

如图，等圆⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，⊙O₂经过⊙O₁的圆心O₁，两圆的连心线交⊙O₁于点M，交AB于点N，连结BM，已知AB=2。
（1）求证：BM是⊙O₂的切线；
（2）求的长。

Answer 1

解：如图，连结， ∵⊙O1和⊙O2是等圆，且O1在⊙O2上， ∴点O2也在⊙O1上， ∵O1O2是两圆的连心线， ∴MO2是⊙O1的直径， ∴∠MBO2=90°， 又∵直线BM经过半径的O2B的外端， ∴直线BM是⊙O2的切线；
（2）连结O1A、O1B， ∵点B既在⊙O1上，又在⊙O2上， ∴O1O2=O1B=O2B， ∴∠NO1B=60°， ∵O1O2是两圆的连心线， ∴O1O2⊥AB，BN=， 在Rt△NO1B中，sin60°=，O1B=2， ∵O1M=O1B， ∴∠O1MB =∠O1BM=∠BO1N =×60°=30°， ∴在Rt△MBN中，∠MBN= 60°， ∴∠MO1A=120°， ∴。