Question

【题目】已知，内接于，过点作的切线．

（1）如图，求证：；

（2）如图，点为的中点，射线交于点，交优弧于点，交于点，求证：；

（3）如图，在（2）的条件下，若，，，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的半径为

【解析】

（1）如下图，根据切线和直径所对圆周角为90°得到和，通过角度转化可证；

（2）如下图，设，推导可得出，，，从而证；

（3）如下图，设，则，先证，从而得出，最后可利用的关系得出k的值和的半径．

（1）证明：过点作直径，连接．

∵是直径，∴．∴．

∵=，∴．

∵是切线，∴．

∴．∴．

（2）证明：延长交于点，连接、、，

设．∵，，

∴．∴．

∵点为中点，不是直径，

∴．∴．∴．

∵=，∴．

∵=，∴．∴．

∴AG∥BC．∴．∴．

∴．∴．

（3）解：如图，连接，设交于点，延长交于点，连接，过点作于点

由（2）知于点，且，

∴．

∵BP∥MN，∴．∴．

∵，∴垂直平分．∴．

∴．

∴设，，∴．

∴．∴，．

∴．∴．

∵=，∴．∴．

∵，∴垂直平分．

∵，∴．∴．

∵，∴．

∵垂直平分，∴．∴．

∴．

∵，∴．

又∵，∴．

∴．∴，即，解得．

∴，即的半径为．