Question

【题目】定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．

（1）若方程为x2-2x=0，写出该方程的衍生点M的坐标．

（2）若关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+2m=0（m＜0）的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．

（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M始终在直线y=kx-2（k-2）的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0,2）；（2）-；（3）b=-6，c=8．

【解析】

（1）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题；

（2）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点的定义，再利用正方形的性质构建方程即可解决问题；

（3）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可.

（1）∵x2-2x=0，

∴x（x-2）=0，

解得：x1=0，x2=2

故方程x2-2x=0的衍生点为M（0，2）．

（2）x2-（2m+1）x+2m=0（m＜0）∵m＜0∴2m＜0

解得：x1=2m，x2=1，

方程x2-（2m+1）x+2m=0（m＜0）的衍生点为M（2m，1）．

点M在第二象限内且纵坐标为1，由于过点M向两坐标轴做垂线，两条垂线与x轴y轴恰好围城一个正方形，

所以2m=-1，解得m＝．

（3）存在．

直线y=kx-2（k-2）=k（x-2）+4，过定点M（2，4），

∴x2+bx+c=0两个根为x1=2，x2=4，

∴2+4=-b，2×4=c，

∴b=-6，c=8．