Question

【题目】已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为（﹣1，0）．

（Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标；

（Ⅱ）将抛物线绕点O顺时针旋转180°得抛物线，且有点P（m，t）既在抛物线上，也在抛物线上，求m的值；

（Ⅲ）当时，二次函数的最小值为，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y＝x2﹣2x﹣3；顶点坐标为（1，-4）；（Ⅱ），；（Ⅲ）a的值为1﹣或2+．

【解析】

（1）利用二次函数的对称性，由点坐标得出点坐标，利用二次函数的交点式直接写出解析式即可，把二次函数的化成顶点式，直接求出顶点坐标；

（2）先求出抛物线的解析式，把分别代入到、的解析式中得到关于的方程组，解方程组即可得出正确答案；

（3）分、、三种情况讨论即可．

解：（Ⅰ）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，

∴点B的坐标为（3，0），

则，

即抛物线C的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；

∵，

∴ 顶点坐标为．

（Ⅱ）由抛物线C解析式知B（3，0），点A的坐标为（﹣1，0）

所以点A点B关于原点的对称点为（1，0）和（﹣3，0），都在抛物线上，

且抛物线开口向下，形状与由抛物线C相同，

于是可得抛物线的解析式为，即y＝﹣x2﹣2x+3；

由点在抛物线上，有，

由点也在抛物线上，有，

∴．

解得，．

（III）①当a+1＜1时，即a＜0，

则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，

解得a＝1﹣（正值舍去）；

②当a＜1≤a+1时，即0≤a＜1，

则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，

解得：a＝﹣2（舍去）；

③当时，

则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2+（负值舍去）；

综上，a的值为1﹣或2+．