Question

【题目】如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA＝∠B，连接AD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD⊥CD，CD＝2，AD＝4，求直径AB的长；

（3）如图2，当∠DAB＝45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AB＝5；（3）,见解析 .

【解析】

（1）连接OC，由OB＝OC知∠OCB＝∠B，结合∠DCA＝∠B得∠DCA＝∠OCB，再由AB是直径知∠ACB＝90°，据此可得∠DCA+∠ACO＝∠OCB+∠ACO＝90°，从而得证；

（2）先利用勾股定理求得 ，再证△ADC∽△ACB得 ，据此求解可得；

（3）连接BE，在AC上截取AF＝BC，连接EF．由AB是直径、∠DAB＝45°知∠AEB＝90°，据此得△AEB是等腰直角三角形，AE＝BE，再证△ECB≌△EFA得EF＝EC，据此可知△FEC是等腰直角三角形，从而得出 ，从而得证．

解：（1）如图1，连接OC．

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠B，

∵∠DCA＝∠B，

∴∠DCA＝∠OCB，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠DCA+∠ACO＝∠OCB+∠ACO＝90°，即∠DCO＝90°，

∴CD是⊙O的切线．

（2）∵AD⊥CD，CD＝2，AD＝4．

∴ ，

由（1）可知∠DCA＝∠B，∠D＝∠ACB＝90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴，即 ，

∴AB＝5，

（3） ，

如图2，连接BE，在AC上截取AF＝BC，连接EF．

∵AB是直径，∠DAB＝45°，

∴∠AEB＝90°，

∴△AEB是等腰直角三角形，

∴AE＝BE，

又∵∠EAC＝∠EBC，

∴△ECB≌△EFA（SAS），

∴EF＝EC，

∵∠ACE＝∠ABE＝45°，

∴△FEC是等腰直角三角形，

∴，

∴ ．