Question

如图：在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，与两坐标轴交点为点A和点C，与抛物线交于点B，其中点A（0，2），点B（– 3，1），抛物线与y轴交点D（0，– 2）．

(1)  求抛物线的解析式；

(2)  求点C的坐标；

(3)  在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

解：(1) 将（–3，1），（0，–2）代入得：

∴ 抛物线的解析式为：

        (2) 过B作BE⊥x轴于E，则E（–3，0），易证△BEC≌△COA

∴ BE = AO = 2   CO = 1  

∴ C（–1，0）

        (3) 延长BC到P，使CP = BC，连结AP，

则△ACP为以AC为直角边的等腰直角三角形

过P作PF⊥x轴于F，易证△BEC≌△DFC

∴ CF = CE = 2  PF= BE = 1

∴ P（1，– 1）

将（1，– 1）代入抛物线的解析式满足

若，AC = AP

则四边形ABCP为平行四边形

过P作PG⊥y轴于G，易证△PGA≌△CEB

∴ PG = 2   AG = 1

∴ P（2，1）在抛物线上

∴ 存在P（1，– 1），（2，1）满足条件