Question

已知α，β是关于x的一元二次方程x²-2ax+a+6=0的两个实根，则（α-1）²+（β-1）²的最小值为______．

Answer 1

∵一元二次方程x²-2ax+a+6=0有两个实根；
∴△=4a²-4×（a+6）=4a²-4a-24≥0；
解得：a≤-2或a≥3；
∵α，β是关于x的一元二次方程x²-2ax+a+6=0的两个实根；
∴α+β=2a，α•β=a+6；
（α-1）²+（β-1）²=α²+1-2α+β²-2β+1=α²+β²-2（β+α）+2
=（α+β）²-2αβ-2（α+β）+2
=4a²-2×（a+6）-2×2a+2
=4a²-6a-10
=4（a-

3

4

）²-

49

4

；
∵a≤-2或a≥3；
∴（a-

3

4

）²≥（

9

4

）²；
∴4（a-

3

4

）²-

49

4

≥8；
则（α-1）²+（β-1）²的最小值为8．