Question

【题目】对于二次函数和一次函数，我们把 称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E.现有点A(1,0)和抛物线E上的点B(2,n)，请完成下列任务：

（尝试）

（1）当t=2时，抛物线的顶点坐标为 .

（2）判断点A是否在抛物线E上；

（3）求n的值.

（发现）通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，定点的坐标 .

（应用）二次函数是二次函数和一次函数 的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由.

Answer 1

【答案】尝试：（1）（，-）．（2）点A（1，0）在抛物线l上．（3）n＝-1．

发现：（1，0）、（2，-1）．

应用：不是,理由见解析

【解析】

尝试：（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；

（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；

（3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值．

发现：将抛物线l展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．

应用：将发现中得到的两个定点坐标代入二次函数中进行验证即可．

解：尝试：

（1）∵将t＝2代入抛物线l中，得：＝2x27x+5＝2（x）2，

∴此时抛物线的顶点坐标为：（，-）．

（2）∵将x＝1代入y=2x27x+5，得 y＝0，

∴点A（1，0）在抛物线l上．

（3）将x＝2代入抛物线 y=2x27x+5的解析式中，得：

n＝-1．

发现：

∵将抛物线E的解析式展开，得：

＝t（x1）（x-3）（x-1）+t(x-1)= t（x1）（x-2）（x-1）

∴抛物线l必过定点（1，0）、（2，-1）．

应用：将x＝1代入，y＝0，即点A在抛物线上．

将x＝2代入，计算得：y＝6≠-1，

即可得抛物线不经过点B，

二次函数不是二次函数和一次函数y＝x＋1的一个“再生二次函数”．