Question

如图1，已知抛物线y=-x²+b x+c经过点A（1，0），B（-3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求b，c的值．
（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=-x²+b x+c经过点A（1，0），B（-3，0）两点，
∴，
解得：；

（2）存在．
理由如下：如图1，
设P点（x，-x²-2x+3），（-3＜x＜0）
∵S_△BPC=S_{四边形BOCP}-S_△BOC
=S_△BDP+S_{四边形PDOC}-×3×3
=（3+x）（-x²-2x+3）+（-x²-2x+3+3）×（-x）-
=
=，
当x=-时，∴S_△BPC最大=，
当x=-时，-x²-2x+3=，
∴点P坐标为：（-，）；

（3）如图2，∵OB=OC=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，而∠OEF=∠OBF=45°，∠OFE=∠OBE=45°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∴OE=OF，∠EOF=90°，
∴=OE²
∴当OE最小时，△OEF面积取得最小值，
∵点E在线段BC上，∴当OE⊥BC时，OE最小，
此时点E是BC中点，∴E（）．
另：可设E（x，x+3），OE²=x²+（x+3）²=2x²+6x+9
∴==
∴当时，S_△OEF取最小值，此时，
∴E（）．
分析：（1）将点A（1，0），B（-3，0）两点代入抛物线y=-x²+b x+c求出即可；
（2）首先设P点（x，-x²-2x+3），（-3＜x＜0）利用S_△BPC=S_{四边形BOCP}-S_△BOC=S_△BDP+S_{四边形PDOC}-×3×3进而求出即可；
（3）根据圆周角定理得出OE=OF，∠EOF=90°，利用=OE²，进而分析得出OE最小时，△OEF面积取得最小值，进而得出E点在BC的中点时，即可得出答案．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数最值问题和图形面积求法等知识，利用圆周角定理得出EO=FO进而分析得出OE最小时，△OEF面积取得最小值是解题关键．