题目内容
在直角梯形
OABC中，CB∥OA，Ð COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝3
．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求点B的坐标；
(2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；
(3)点M是(2)中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：
解析：
解析：
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[解](1)如图，作BH^ x轴于点H，则四边形OHBC为矩形， ∴OH＝CB＝3，∴AH＝OA－OH＝6－3＝3， 在 Rt△ABH中，BH＝ ＝ ＝6，
∴点B的坐标为(3，6)．
(2)如上图，作EG^ x轴于点G，则EG∥BH， ∴△OEG～△OBH，∴  ＝ ＝ ，又∵OE＝2EB，
∴ ＝ ，∴ ＝ ＝ ，∴OG＝2，EG＝4，∴点E的坐标为(2，4)．
又 ∵点D的坐标为(0，5)，设直线DE的解析式为y＝kx＋b，则 ，解得k＝－ ，b＝5．∴直线DE的解析式为：y＝－ x＋5．
(3)答：存在． ①如图，当 OD＝DM＝MN＝NO＝5时，四边形ODMN为菱形．作MP^ y轴于点P，则 MP∥x轴，∴△MPD～△FOD，∴ ＝ ＝ ．
又 ∵当y＝0时，－x＋5＝0，解得x＝10．∴F点的坐标为(10，0)，∴OF＝10．
在 Rt△ODF中，FD＝ ＝ ＝5 ，∴ ＝ ＝ ，
∴MP＝2  ，PD＝．∴点M的坐标为(－2，5＋)．
∴点N的坐标为(－2 ，)．
②如图，当 OD＝DN＝NM＝MO＝5时，四边形ODNM为菱形．延长NM交x轴于点P，则MP^ x轴．∵点M在直线y＝－ x＋5上，∴设M点坐标为(a，－a＋5)，在Rt△OPM中，OP2＋PM2＝OM2，∴a2＋(－a＋5)2＝52，解得a1＝4，a2＝0(舍去)，
∴点M的坐标为(4，3)，∴点N的坐标为(4，8)． ③如图，当 OM＝MD＝DN＝NO时，四边形OMDN为菱形．连接NM，交OD于点P，则NM与OD互相垂直平分，∴yM＝yN＝OP＝ ，∴－ xM＋5＝，∴xM＝5，
∴xN＝－xM＝－5，∴点N的坐标为(－5， )．
综上所述， x轴上方的点N有三个，分别为N1(－2 ， )，
N2(4，8)，N3(－5，  )．
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