题目内容

如图，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°．O是AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G．则∠CDG=，若AB= $数学公式$ ，则BG=．

67.5° 2 $\text{[math]}$ -2
分析：连接OD，由AC为圆O的切线，根据切线的性质得到OD与AC垂直，又AC=BC，且∠C=90°，得到三角形ABC为等腰直角三角形，得到∠A=45°，在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，根据AB的长，又O为AB的中点，从而得到AO等于BO都等于AB的一半，求出AO与BO的长，再由OB-OF求出FB的长，同时由OD和GC都与AC垂直，得到OD与GC平行，得到一对内错角相等，再加上对顶角相等，由两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ODF与三角形GBF相似，由相似得比例，把OD，OF及FB的长代入即可求出GB的长．
解答：

解：连接OD．
∵CD切⊙O于点D，
∴∠ODA=90°，∠DOA=45°，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD= $\text{[math]}$ ∠DOA=22.5°，
∴∠CDG=∠CDO-∠ODF=90°-22.5°=67.5°．
∵AC为圆O的切线，
∴OD⊥AC，
又O为AB的中点，∴AO=BO= $\text{[math]}$ AB=2 $\text{[math]}$ ，
∴圆的半径DO=FO=AOsinA=2 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =2，
∴BF=OB-OF=2 $\text{[math]}$ -2．
∵GC⊥AC，OD⊥AC，
∴OD∥CG，
∴∠ODF=∠G，又∠OFD=∠BFG，
∴△ODF∽△BGF，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BG=2 $\text{[math]}$ -2．
故答案为：67.5°，2 $\text{[math]}$ -2．
点评：此题考查了切圆的综合知识．在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”．圆与相似三角形，及三角函数相融合的解答题、与切线有关的性质与判定有关的证明题是近几年中考的热点，故要求学生把所学知识融汇贯穿，灵活运用．