题目内容
（2013•宁化县质检）如图，Rt△ABC中∠C=90°，AC=4，BC=3；半径为1的⊙P的圆心P在AC边上移动．
（1）当AP为多长时，⊙P与AB相切？（如有需要，可用图1分析）
（2）如图2，当⊙P运动到与边BC相交时，记交点为E，连结PE，并作PD⊥AC交AB于点D，问：四边形PDBE可能为平行四边形吗？若可能，求出此时AP的长；若不可能，说明理由．）
（1）当AP为多长时，⊙P与AB相切？（如有需要，可用图1分析）
（2）如图2，当⊙P运动到与边BC相交时，记交点为E，连结PE，并作PD⊥AC交AB于点D，问：四边形PDBE可能为平行四边形吗？若可能，求出此时AP的长；若不可能，说明理由．）
分析：（1）根据切线的性质得出当PF=1时，⊙P与AB相切，利用相似三角形的判定与性质得出即可；
（2）根据平行四边形的判定，得出当PE∥AB时，四边形PDBE是平行四边形，由PE∥AB得，△PCE∽△ACB，
=
进而求出即可．
（2）根据平行四边形的判定，得出当PE∥AB时，四边形PDBE是平行四边形，由PE∥AB得，△PCE∽△ACB，
| PC |
| AC |
| PE |
| AB |
解答：
解：（1）过P作PF⊥AB于点F．
由⊙P的半径为1得，当PF=1时，⊙P与AB相切．
由∠A是公共角，∠PFA=∠C=90°，
得△APF∽△ABC，
∴
=
，
其中，由AC=4、BC=3得AB=5
∴AP=
；
（2）∵由PD⊥AC，∠C=90°，得PD∥BC，
∴当PE∥AB时，四边形PDBE是平行四边形．
由PE∥AB得，
△PCE∽△ACB，
∴
=
设AP=x，得PC=4-x
∴由PE=1，AB=5得
=
，
解得x=
，
因此，四边形PDBE是平行四边形，此时AP的长为
．
解：（1）过P作PF⊥AB于点F．由⊙P的半径为1得，当PF=1时，⊙P与AB相切．
由∠A是公共角，∠PFA=∠C=90°，
得△APF∽△ABC，
∴
| AP |
| AB |
| PF |
| BC |
其中，由AC=4、BC=3得AB=5
∴AP=
| 5 |
| 3 |
（2）∵由PD⊥AC，∠C=90°，得PD∥BC，
∴当PE∥AB时，四边形PDBE是平行四边形．
由PE∥AB得，
△PCE∽△ACB，
∴
| PC |
| AC |
| PE |
| AB |
设AP=x，得PC=4-x
∴由PE=1，AB=5得
| 4-x |
| 4 |
| 1 |
| 5 |
解得x=
| 16 |
| 5 |
因此，四边形PDBE是平行四边形，此时AP的长为
| 16 |
| 5 |
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练利用平行四边形的性质得出是解题关键．
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