Question

如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标分别为（4，0）、（0，4）、（-4，0）、（0，-4），点M为AB上一点，=，∠EMF在AB的下方以M为中心旋转且∠EMF=45°，ME交y轴于点P，MF交x轴于点Q．设AQ的长为m（m＞0），BP的长为n．试回答下列问题：
（1）点M的坐标为______；
（2）当点P的坐标为______

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出，过点M作MN⊥OA于N，可得△AMN和△ABO相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出AN、MN，再求出ON，即可得到点M的坐标；
（2）根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABO=∠BAO=45°，再根据三角形内角和定理求出∠BPM+∠BMP=135°，根据平角的定义求出∠BMP+∠AMQ=135°，然后求出∠BPM=∠AMQ，然后求出△BPM和△AMQ相似，利用勾股定理求出AM，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出mn=6，再分①AM=MQ时，根据等腰三角形三线合一的性质求出m的值，再求出n的值，从而求出OP，得到点P的坐标，②AM=AQ时，先求出得到m的值，再求出n的值，然后求出OP，即可得到点P的坐标，③MQ=AQ时，求出m的值，再求出n的值，然后OP，即可得到点P的坐标；
（3）分点Q在x正半轴、负半轴以及点P在y轴负半轴上三种情况，根据三角形的面积列出方程求出m、n的值，再根据点P、Q的位置作出判断解答即可．
解答：解：（1）∵=，
∴=，
过点M作MN⊥OA于N，
则△AMN∽△ABO，
∴==，
即==，
解得AN=MN=1，
∴ON=OA-AN=4-1=3，
∴点M的坐标为（3，1）；

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
在△BPM中，∠BPM+∠BMP=180°-45°=135°，
∵∠EMF=45°，
∴∠BMP+∠AMQ=180°-45°=135°，
∴∠BPM=∠AMQ，
∴△BPM∽△AMQ，
∴=，
根据勾股定理，AM==，BM=3AM=3，
∴=，
∴mn=6，
①AM=MQ时，m=2AQ=2，
∴n=6÷2=3，
∴OP=4-3=1，
此时，点P的坐标为（0，1）；
②AM=AQ时，m=，
n=6÷=3，
OP=4-3，
此时，点P的坐标为（0，4-3）；
③MQ=AQ时，△AMQ是等腰直角三角形，m=AN=1，
∴n=6÷1=6，
OP=4-6=-2，
此时，点P的坐标为（0，-2）；
综上所述，当点P的坐标为（0，1）、（0，4-3）、（0，-2）时，以A、Q、M为顶点的三角形为等腰三角形；
故答案为：（1）（3，1）；（2）（0，1）、（0，4-3）、（0，-2）；


（3）根据（2）的结论，在旋转过程中，△BPM∽△AMQ，mn=6，
①如图1，点Q在x正半轴上时，S=（4-n）×3+（4-m）×1=2，
整理得，m+3n=12，
联立，
解得，（m＞4，舍去），
此时，n=2+；
②如图2，点Q在x轴负半轴上时，S=（4-n）×3+（4-n）（m-4）=2，
整理得，n+4m=14，
联立，
解得，，
∵m＜4，点Q在x正半轴上，
∴都不符合题意，舍去；
③如图3，点P在y轴负半轴上时，S=（4-m）×1+（4-m）（n-4）=2，
整理得，3m+4n=22，
联立，
解得（n＜4，舍去），，
此时，n=，
综上所述，n的值为2+或时，以Q、M、P、O为顶点的四边形的面积会等于2．
点评：本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，解二元二次方程，综合性较强，难度较大，（2）（3）两题要注意分情况讨论．