Question

【题目】如图，四边形中的三个顶点在⊙上，是优弧上的一个动点(不与点、重合).

(1)当圆心在内部，时，________.

(2)当圆心在内部，四边形为平行四边形时，求的度数;

(3)当圆心在外部，四边形为平行四边形时，请直接写出与的数量关系.

Answer 1

【答案】120

【解析】试题分析：（1）连接OA，如图1，根据等腰三角形的性质得∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，则∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°，然后根据圆周角定理易得∠BOD=2∠BAD=120°；

（2）根据平行四边形的性质得∠BOD=∠BCD，再根据圆周角定理得∠BOD=2∠A，则∠BCD=2∠A，然后根据圆内接四边形的性质由∠BCD+∠A=180°，易计算出∠A的度数；

（3）讨论：当∠OAB比∠ODA小时，如图2，与（1）一样∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，则∠OAD-∠OAB=∠ADO-∠ABO=∠BAD，由（2）得∠BAD=60°，

所以∠ADO-∠ABO=60°；当∠OAB比∠ODA大时，用样方法得到∠ABO-∠ADO=60°．

解： (1)连接OA,如图1,

∵OA=OB，OA=OD，

∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，

∴∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°,即∠BAD=60°，

∴∠BOD=2∠BAD=120°；

故答案为120°；

(2)∵四边形OBCD为平行四边形，

∴∠BOD=∠BCD，

∵∠BOD=2∠A，

∴∠BCD=2∠A，

∵∠BCD+∠A=180°,即3∠A=180°，

∴∠A=60°；

(3)当∠OAB比∠ODA小时，如图2，

∵OA=OB,OA=OD,

∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，

∴∠OAD∠OAB=∠ADO∠ABO=∠BAD，

由(2)得∠BAD=60°，

∴∠ADO∠ABO=60°；

当∠OAB比∠ODA大时，

同理可得∠ABO∠ADO=60°，

综上所述,.