Question

【题目】如图1，中，，于点，，．

（1）求，的长

（2）若点是射线上的一个动点，作于点，连结．

①当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长．

②设交直线于点，连结，，若，则的长为______________．（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）BC=10，AC=（2）①-4或4； ②或8．

【解析】

（1）根据BA=BC可得BC的长，分别根据勾股定理可得OC和AC的长；
（2）①分两种情况：AO=OE和AO=AE时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题；
②分两种情况：
i）当D在线段OB上时，如图3，过B作BG⊥EF于G，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得，可得BF= ，根据平行线的性质证明∠BDG=∠BFG，得BD=BF=，最后利用勾股定理可得结论；
ii）当D在线段OB的延长线上时，如图4，过B作BG⊥DE于G，同理计算可得结论．

（1）∵AO=4，BO=6，
∴AB=10，
∵BA=BC，
∴BC=10，
∵CO⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，

∵

∴

（2）①分两种情况：
i）如图1，当AO=OE=4时，过O作ON⊥AC于N，

∴AN=EN，
∵DE⊥AC，
∴ON∥DE，
∴AO=OD=4；
ii）当AO=AE=4时，如图2，

在△CAO和△DAE中，
，
∴△CAO≌△DAE（AAS），
∴AD=AC=4，
∴OD=4-4；
②分两种情况：
i）当D在线段OB上时，如图3，过B作BG⊥EF于G，

∵S△OBF：S△OCF=1：4，
∴
∴
∵CB=10
∴BF=
∵EF⊥AC，
∴BG∥AC，
∴∠GBF=∠ACB，
∵AE∥BG，
∴∠A=∠DBG，
∵AB=BC，
∴∠A=∠ACB，
∴∠DBG=∠GBF，
∵∠DGB=∠FGB，
∴∠BDG=∠BFG，
∴BD=BF=，
∴OD=OB-BD=6-=，
∴CD= ；
ii）当D在线段OB的延长线上时，如图4，过B作BG⊥DE于G，

同理得，
∵BC=10，
∴BF=2，
同理得：∠BFG=∠BDF，
∴BD=BF=2，
Rt△COD中，CD= ，
综上，CD的长为或8．
故答案为：或8．