Question

如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点．

（1）当点A的坐标为（ ，p）时，

①填空：p=___ ，m= ___，∠AOE= ___．

②如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；

（2）在图1中，连接EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax²+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化．请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）1， ，60°；

（2）连接TM，ME，EN，ON，如图，

∵OE和OP是⊙Q的切线，

∴QE⊥x轴，QT⊥OT，即∠QTA=90°，

而l∥x轴，

∴QE⊥MN，

∴MF=NF，

又∵当r=2，EF=1，

∴QF=2-1=1，

∴四边形QNEM为平行四边形，即QN∥ME，

∴NQ=NE，即△QEN为等边三角形，

∴∠NQE=60°，∠QNF=30°，

在四边形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，

∴∠TQE=360°-90°-90°-60°=120°，

∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°，

∴T、Q、N三点共线，即TN为直径，

∴∠TMN=90°，

∴TN∥ME，

∴∠MTN=60°=∠TNE，

∴以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；

（3）对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax²+bx+c，a的值不会变化．理由如下：

连DM，ME，如图，

∵DM为直径，

∴∠DME=90°，

而DM垂直平分MN，

∴Rt△MFD∽Rt△EFM，

∴MF²=EF•FD，

设D（h，k），（h＞0，k=2r），则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=a（x-h）²+k，

又∵M、N的纵坐标都为1，

当y=1，a（x-h）²+k=1，解得x₁=h- ， x₂=h+ ，

∴MN=2 ，

∴MF= MN= ，

∴（ ）²=1•（k-1），

∵k＞1，

∴ =k-1，

∴a=-1．

【解析】略