Question

如图，抛物线y=

1

2

x2-

3

2

x-9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线解析式，可求出A、B、C的坐标，继而可得出AB和OC的长；
（2）根据ED∥BC，可判断△AED∽△ABC，再由相似三角形的面积比等于相似比平方，可得出s关于m的函数关系式，结合题意可得m的取值范围；
（3）根据S_△EDC=S_△AEC-S_△AED，可得△CDE的面积关于m的表达式，利用配方法可求出△CDE面积的最大值．

解答：解：（1）在y=

1

2

x2-

3

2

x-9中，
令x=0，得y=-9，
∴C（0，-9）；
令y=0，即

1

2

x2-

3

2

x-9=0，
解得：x₁=-3，x₂=6，
∴A（-3，0）、B（6，0），
∴AB=9，OC=9．

（2）∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴

S△AED

S△ABC

=(

AE

AB

)2，即：

s

1 2 •9•9

=(

m

9

)2，
∴s=

1

2

m²（0＜m＜9）．

（3）∵S_△AEC=

1

2

AE•OC=

9

2

m，S_△AED=s=

1

2

m²，
∴S_△EDC=S_△AEC-S_△AED=-

1

2

m²+

9

2

m=-

1

2

（m-

9

2

）²+

81

8

，
当m=

9

2

时，S_△EDC取得最大，最大值为

81

8

．
故△CDE的最大面积为

81

8

，

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了相似三角形的判定与性质、配方法求二次函数最值，解答本题需要扎实的掌握基础知识，注意数形结合思想的运用，难度较大．