Question

如图：在直角坐标系中，已知B（b，0），C（0，c），且|b+3|+（2c-8）²=0．
（1）求B、C的坐标；
（2）点A、D是第二象限内的点，点M、N分别是x轴和y轴负半轴上的点，∠ABM=∠CBO，CD∥AB，MC、NB所在直线分别交AB、CD于E、F，若∠MEA=70°，∠CFB=30°．求∠CMB-∠CNB的值；
（3）如图：AB∥CD，Q是CD上一动点，CP平分∠DCB，BQ与CP交于点P，给出下列两个结论：①

∠DQB+QBC

∠QPC

的值不变；②

∠DQB+∠QBC

∠QPC

的值改变．其中有且只有一个是正确的，请你找出这个正确的结论并求其定值．

Answer 1

分析：（1）根据任何数的绝对值与平方的值都是非负数，即可得到b+3=2c-8=0，求得b，c的值，得到B，C的坐标；
（2）根据∠CMB=∠MEA-∠ABM，∠CNB=∠GCF-∠CFB，以及平行线的性质即可求证；
（3）值不变，等于2．根据∠DQB+∠QBC=（∠QBC+∠QCB）+∠QBC=2∠QBC+2∠PCB=2（∠QBC+∠PCB）=2∠QPC即可求证．

解答：解：（1）由题意得：b+3=2c-8=0，（1分）
∴b=-3，c=4．（2分）
∴B（-3，0），C（0，4）．（3分）

（2）∵CD∥AB，
∴∠DCB+∠ABC=180°．
∵∠COB=90°，
∴∠CBO+∠BCO=90°．（4分）
∵（∠GCF+∠DCB+∠BCO）+（∠CBO+∠ABC+∠ABM）
=180°+180°=360°，
∴∠ABM+∠GCF=360°-180°-90°=90°．（5分）
又∵∠CMB=∠MEA-∠ABM=70°-∠ABM
∠CNB=∠GCF-∠CFB=∠GCF-30°（6分）
∴∠CMB-∠CNB=（70°-∠ABM）-（∠GCF-30°）
=100°-（∠ABM+∠GCF）
=100°-90°
=10°．

（3）答：①

∠DQB+∠QBC

∠QPC

的值不变，定值为2．
∵CP平分∠DCB，
∴∠QCB=2∠PCB．
又∵∠DQB=∠QBC+∠QCB，
∴∠DQB+∠QBC
=（∠QBC+∠QCB）+∠QBC
=2∠QBC+2∠PCB
=2（∠QBC+∠PCB）
=2∠QPC
∴②

∠DQB+∠QBC

∠QPC

=

2∠QPC

∠QPC

=2．（12分）

点评：①几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做方程的思想；
②求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；
③三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．