Question

【题目】如图，在中，于点. 点从点出发，沿线段向点运动，点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点运动到时，两点都停止. 设运动时间为秒.

（1）求线段的长；

（2）当为何值时，是直角三角形？

（3）是否存在某一时刻，使得分的面积为1：11？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）为3秒或秒时，是直角三角形；

（3）当时使得分的面积为1：11.

【解析】

（1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长，

（2）先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分PQ⊥CD与PQ⊥AC两种情况进行讨论；

（3）过点作于，通过三角形相似即可用t的代数式表示QE，从而可以求出和；利用分的面积为1：11，分两种情况讨论，① ，②，建立t的方程，解方程即可解决问题．

解：（1）在中，根据勾股定理得，，

∵，

∴，

（2）由（1）知，，由运动知，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵是直角三角形，

∴①

当PQ⊥CD时，如图a

∴，

∴，

∴，

∴

②当PQ⊥AC，如图b．

∴，

∴，

∴

∴，

即：为3秒或秒时，是直角三角形

（3）假设存在，如图，

在中，根据勾股定理得，，

过点作于，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∵分的面积为1：11，

∴①当时，

∴，

∴，

解得，

②当时，

，

∴，

而，

此方程无解，即：此种情况不存在，

综上所述，当时使得分的面积为1：11.