Question

如图，⊙是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF。

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）

（2）求证：OD=OE；

（3）PF是⊙的切线。

Answer 1

（1）解：由直径AC=12得半径OC=6

劣弧PC的长为

（2）证明：∵ OD⊥AB，PE⊥AC

           ∴ ∠ADO=∠PEO=90°

           在△ADO和△PEO中，

          

          ∴ △ADO≌△PEO

∴ OD=OE

（3）解：连接PC，由AC是直径知BC⊥AB，又OD⊥AB，

        ∴ PD∥BF

        ∴ ∠OPC=∠PCF，∠ODE=∠CFE

        由（2）知OD=OE，则∠ODE=∠OED，又∠OED=∠FEC

        ∴ ∠FEC=∠CFE

        ∴ EC=FC

        由OP=OC知∠OPC=∠OCE

        ∴ ∠PCE =∠PCF

       在△PCE和△PFC中，

       ∴ △PCE≌△PFC

       ∴ ∠PFC =∠PEC=90°

       由∠PDB=∠B=90°可知∠ODF=90°即OP⊥PF

       ∴ PF是⊙的切线