Question

在△ABC中，∠BAC的平分线AD交△ABC的外接圆⊙O于点E，交BC于点D，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F，若AD=3

3

，DE=

3

．
求证：
（1）EF∥BC；
（2）AF=2EF．

Answer 1

分析：（1）连接OE，则OE⊥EF；根据圆周角定理知点E是弧BC的中点，所以由垂径定理知OE⊥BC，故EF∥BC；
（2）根据EF∥BC得AD：DE=AB：BF=3：1．根据切割线定理得EF与AF的关系式．

解答：证明：（1）连接OE．
∵EF切⊙O于点E，则OE⊥EF．
∵AE平分∠BAC，∴

BE

 =

EC

．
∴OE⊥BC．
∴EF∥BC．

（2）∵EF∥BC，AD=3

3

，DE=

3

．
∴AD：DE=AB：BF=3：1．
∴BF=

1

4

AF．
∵FE是切线，FA是割线，
∴EF²=FB•FA=

1

4

FA²，
∴EF=

1

2

FA，即AF=2EF．

点评：此题考查切线的性质、平行线分线段成比例、切割线定理等知识点，综合性较强，难度较大．