Question

【题目】如图，将边长为3的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N，那么折痕GH的长为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

利用翻折变换的性质结合勾股定理表示出CH的长，得出△EDM∽△MCH，进而求出MC的长，依据△GPH≌△BCM，可得GH＝BM，再利用勾股定理得出BM，即可得到GH的长．

设CM＝x，设HC＝y，则BH＝HM＝3﹣y，

故y2+x2＝（3﹣y）2，

整理得：y＝﹣x2+，

即CH＝﹣x2+，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，

由题意可得：ED＝1.5，DM＝3﹣x，∠EMH＝∠B＝90°，

故∠HMC+∠EMD＝90°，

∵∠HMC+∠MHC＝90°，

∴∠EMD＝∠MHC，

∴△EDM∽△MCH，

∴，

即，

解得：x1＝1，x2＝3（不合题意），

∴CM＝1，

如图，

连接BM，过点G作GP⊥BC，垂足为P，则BM⊥GH，

∴∠PGH＝∠HBM，

在△GPH和△BCM中

，

∴△GPH≌△BCM（SAS），

∴GH＝BM，

∴GH＝BM＝＝．