题目内容

如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是 $数学公式$ 上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度不变的边？若存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；
（3）求：S_△ODE-S_△CDE的值．

解：（1）∵OD⊥BC，
∴BD= $\text{[math]}$ BC= $\text{[math]}$
而BC=2，
在RtOBD中，OD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）在△DOE中DE的长度不变．

连结AB，如图，
∵∠AOB=90°，OA=OB=2，
∴AB= $\text{[math]}$ OA=2 $\text{[math]}$ ，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴DB=DC，EA=EC，即点D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE为△CBA的中位线，
∴DE= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ ；

（3）连结OC，
∵DE∥BA，
∴△CDE∽△CBA，
∴S_△CDE：S_△CBA=（CD：CB）²=1：4，即S_△CBA=4S_△CDE，
∵S_△ODB=S_△ODC，S_△OAE=S_△OEC，
∴S_△ODE=S_{四边形ODCE}-S_△CDE，
=S_△ODC+S_△OEC-S_△CDE
= $\text{[math]}$ S_△OBC+ $\text{[math]}$ S_△OAC-S_△CDE
= $\text{[math]}$ S_{四边形ODCE}-S_△CDE
= $\text{[math]}$ S_△OAB+ $\text{[math]}$ S_△CAB-S_△CDE
= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×2×2+ $\text{[math]}$ ×4S_△CDE-S_△CDE
=1+S_△CDE，
∴S_△ODE-S_△CDE=1．
分析：（1）根据垂径定理由OD⊥BC得BD= $\text{[math]}$ ，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长；
（2）连接AB，根据等腰直角三角形的性质可得出AB=2 $\text{[math]}$ ，再根据垂径定理得到OD⊥BC，OE⊥AC，则DE为△CBA的中位线，然后根据三角形中位线性质即可得到DE= $\text{[math]}$ ；
（3）连结OC，由DE∥BA可判断△CDE∽△CBA，根据相似三角形的性质得S_△CDE：S_△CBA=（CD：CB）²=1：4，即S_△CBA=4S_△CDE，再利用S_△ODB=S_△ODC，S_△OAE=S_△OEC和S_△ODE=S_{四边形ODCE}-S_△CDE进行变形可得到S_△ODE-S_△CDE的值．
点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理；学会运用勾股定理和相似比进行几何计算；同时理解等腰直角三角形的性质．