题目内容
4．
如图，直线AB的解析式为y=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+6分别与x轴、y轴相交于B、A两点．点C在射线BA上以3cm/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1cm的⊙C．点P以2cm/秒的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线l垂直于y轴．若点C与点P 同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒，试求：（1）求点A和点B的坐标；
（2）∠ABO的度数；
（3）整个运动过程中直线l与⊙C共有几次相切？分别求出相切时的t值．
分析 （1）首先过点C作CD⊥x轴于点D，由直线AB的解析式为y=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+6，分别与x轴、y轴相交于B、A两点；
（2）利用点A与B的坐标，则可求得tan∠ABO=$\frac{AB}{OB}$的值，进而得出∠ABO的度数；
（3）由（1）（2）得到BC=2CD；然后分别从直线l与⊙C第一次相切，第二次相切，第三次相切，去分析求解，即可求得答案．
解答 
解：（1）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵直线AB的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+6，分别与x轴、y轴相交于B、A两点，
∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=6$\sqrt{3}$，
∴点A的坐标为：（0，6），点B的坐标为：（6$\sqrt{3}$，0）；
（2）由（1）得：OA=6，OB=6$\sqrt{3}$，
∴在Rt△AOB中，tan∠ABO=$\frac{AB}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABO=30°；
（3）在Rt△BCD中，BC=2CD，
如图1，直线直线l与⊙C第一次相切，
由题意得：OP=2t，BC=3t，
∴CD=2t-1，
∴3t=2（2t-1），
解得：t=2；
如图2，直线直线l与⊙C第二次相切，
由题意得：OP=6-（2t-6）=12-2t，BC=3t，
∴CD=12-2t-1，
∴3t=2（12-2t-1），
解得：t=$\frac{22}{7}$；
如图3，直线直线l与⊙C第三次相切，
由题意得：OP=6-（2t-6）=12-2t，BC=3t，
∴CD=12-2t+1，
∴3t=2（12-2t+1），
解得：t=$\frac{26}{7}$．
综上所述：在整个运动过程中直线l与⊙C共有3次相切；相切时的t值分别为：2，$\frac{22}{7}$，$\frac{26}{7}$．
点评 此题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、切线的性质以及特殊角的三角函数值等知识．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
如图，已知平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：（1）AB=BH；（2）∠A=∠BHE；（3）BH=HG；（4）△BHD∽△BDG；（5）DB=$\sqrt{2}$BE．其中正确的结论有（1）（2）（5）（填序号）．
如图，点D为△ABC的边AB上的一点，连结CD，过点B作BE∥AC交CD的延长线于点E，且∠ACD=∠DBC，S△ADC：S△BED=4：9，AB=10，则AC的长为2$\sqrt{10}$．
（1）根据图中的规律，写出a7；
已知：将长方形ABCD沿直线AC对折，将点B折到点E处，AE交CD于点F，
甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A，B两地间的路程为20千米，他们前进的路程为s（单位：千米），甲出发后的时间为t（单位：小时），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息回答下列问题：
如图△ABC的周长是30cm，把△ABC的边AC对折，使点C和点A重合，折痕是DE交BC和AC于D点和E点，连接AD，若EC=4cm，△ABD的周长是22cm．| A． | y没有最小值 | |
| B． | 只有一个x使y取到最小值 | |
| C． | 有有限多个x（不止一个）使y取到最小值 | |
| D． | 有无穷多个x使y取到最小值 |