Question

如图，直线l与x轴交于点P（1，0），与x轴所夹的锐角为θ，且tanθ=，直线l与抛物线（a＞0）相交于B（m，-3），D（3，n）
（1）求B、D两点的坐标，并用含a的代数式表示b和c；
（2）①若关于x的方程有实数根，求此时抛物线的解析式；
②若抛物线（a＞0）与x轴交于A、C两点，顺次连接A、B、C、D得凸四边形ABCD，问四边形ABCD的面积有无最大值或最小值？若有，求出面积的最大值或最小值；若无，请说明理由．

Answer 1

解：（1）作DE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，如图，
∵点P（1，0），tanθ=，D（3，n），
∴OP=1，OE=3，
∴PE=2，
在Rt△PDE中，tanθ=tan∠DPE==，
∴DE=3，
∴D点坐标为（3，3）；
∵B点坐标（m，-3），
∴BF=3，
在Rt△PBF中，tanθ=tan∠FPB==，
∴PF=2，
∴OF=1，
∴B点坐标为（-1，-3）；
把B（-1，-3）、D（3，3）代入得
，

解得b=-，c=--；
（2）①根据题意得△=（a）²-4（a²-a+）≥0，
∴（a-1）²≤0，
∴a-1=0，即a=1，
∴此时抛物线的解析式为y=x²-x-；
②四边形ABCD的面积无最大值和最小值．理由如下：
AC==a=，
∵b=-，c=--，
∴AC==，
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=AC×3+AC×3=3AC，
∴S_{四边形ABCD}=，
∵a＞0，
∴9a²+64没有最大值，也没有最小值，即，没有最大值，也没有最小值
∴四边形ABCD的面积无最大值和最小值．
分析：（1）作DE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，在Rt△PDE中，利用正切的定义得到tanθ=tan∠DPE==，可求出DE=3，于是确定D点坐标为（3，3）；在Rt△PBF中用同样方法可确定B点坐标为（-1，-3）；再把B（-1，-3）、D（3，3）代入得方程组，把它看作为关于b、c的方程组，解得b=-，c=--；
（2）①根据根的判别式得到△=（a）²-4（a²-a+）≥0，整理后得到（a-1）²≤0，根据非负数的性质得到a-1=0，即a=1，即可得到此时抛物线的解析式为y=x²-x-；
②利用抛物线与x轴两交点的距离公式得到AC==a=，把b=-，c=--代入整理得到AC=，而S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=AC×3+AC×3=3AC，则S_{四边形ABCD}=，由于a＞0，9a²+64没有最大值，也没有最小值，即，没有最大值，也没有最小值．
点评：本题考查了二次函数综合题：二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，其顶点式为y=a（x-）²+，当a＞0，y_最小值=；当a＜0，y_最，大值=；对于一元二次方程的根的判别式和三角函数的定义要熟练运用．