Question

已知△ABC中，∠C=90°，三边为a，b，c，若关于x的方程的两根平方和为12，则a：b：c=________．

Answer 1

1：2：3
分析：先把关于x的方程整理为：（c-a）x²-2bx+c+a=0，设此方程两根为x₁，x₂，根据根与系数的关系即可求解．
解答：先把关于x的方程整理为：（c-a）x²-2bx+c+a=0，
设此方程两根为x₁，x₂，∴x₁+x₂=，x₁x₂=，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=12，
-2=12，把b²=a²-c²代入得：c²-4ac+3c²=0，
（c-a）（c-3a）=0，
∵c＞0，∴c=3a，b=2a，
a：b：c=1：2：3．
故答案为：1：2：3．
点评：本题考查了根与系数的关系及勾股定理，难度适中，关键是掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，反过来可得p=-（x₁+x₂），q=x₁x₂，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．